EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

1 / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ] [-1] = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético dado por:

${\displaystyle {\vec {\mu }}=I.{\vec {A}}}$ .

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Nessa expressão ${\displaystyle \scriptstyle I}$ é a intensidade da corrente e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}}$ é o vetor área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido é consistente com a regra do parafuso de rosca direita:

${\displaystyle A=\pi .r^{2}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

${\displaystyle |{\vec {\mu }}|=I.A=(e.f).(\pi .r^{2})}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

${\displaystyle |{\vec {L}}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^{2}={\frac {2m}{e}}.|{\vec {\mu }}|}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Portanto

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}.{\vec {L}}}$ (Z)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Dado que o momento angular é quantizado, temos:

${\displaystyle {\vec {I}}=m\hbar {\hat {I}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{i}={\frac {-e\hbar {\hat {I}}}{2m}}=-{\vec {\mu }}_{B}{\hat {I}}}$ (Y)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle \mu _{B}}$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Pode-se ver da Equação (Y) que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mu }}_{i}}$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

${\displaystyle \gamma _{i}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{i}}{\vec {I}}}{\Bigg |}={\frac {e}{2m}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}}$ (X)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

${\displaystyle \gamma _{s}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{s}}{\vec {S}}}{\Bigg |}={\frac {e}{m}}}$ (K)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

${\displaystyle \gamma ={\frac {ge}{2m}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2 004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\hbar }$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

${\displaystyle \mu _{s}=\gamma _{s}|{\vec {s}}|={\frac {e}{m}}.{\frac {\hbar }{2}}=\mu _{B}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

${\displaystyle \Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle }$ (P)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

${\displaystyle \lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Neste caso, ${\displaystyle \scriptstyle \Psi _{\text{total}}}$ é uma auto-função de ambos ${\displaystyle \scriptstyle L_{z}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle S_{z}}$ e portanto ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$.

Dado que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$ não comuta quer com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ ou com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$, a equação (P) torna-se incorreta e ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Onde ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {r}}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\displaystyle {\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon }$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Com energia potencial

${\displaystyle E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$ (T)

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

e por uma energia adicional dada por

${\displaystyle \Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

e então

${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A equação (T) torna-se então

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

E a energia adicional

${\displaystyle \Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O produto escalar

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Para spin = ½

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A separação energética se torna então

${\displaystyle |\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

${\displaystyle \Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Onde

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

é o comprimento de onda de Compton

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$ i.e.

${\displaystyle {\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}}$

para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

De modo que a separação energética se torna

${\displaystyle \Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

Esquemas de acoplamento do momento angular

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O modelo de acoplamento j - j

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}={\vec {L}}_{1}+{\vec {S}}_{1}\;e\;{\vec {J}}_{2}={\vec {L}}_{2}+{\vec {S}}_{2}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O momento angular total é obtido combinando ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{1}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{2}}$ :

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2}}$.

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

sendo assim temos

${\displaystyle j=|j_{1}+j_{2}|,|j_{1}+j_{2}-1|,.....,|j_{1}-j_{2}|}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

${\displaystyle j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O esquema de acoplamento de Russell-Saunders

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{2}\;e\;{\vec {S}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O momento angular total é dado, por

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O valor absoluto de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ , corresponde a:

${\displaystyle |{\vec {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar }$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde os valores possíveis de L são:

${\displaystyle l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2}}$ para ${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O número quântico l determina as características do nível:

${\displaystyle l=0,1,2...{\text{indicam os níveis}}\;S,P,D...}$

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

${\displaystyle \Delta l=\pm 1}$ para um só electrão

${\displaystyle \Delta l=0,\pm 1}$ para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

${\displaystyle {\textbf {l}}=2,1,\;ou\;0\;e\;s=1\;ou\;0}$

Para cada l e s, os valores de j são ${\displaystyle |l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|}$

para cada valor de j existem (2j+1) valores de ${\displaystyle \scriptstyle m_{j}}$. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j